Ma Phương, Ma Thuật của Toán Học Ma Trận (Matrix)

Ma Phương, Ma Thuật của Toán Học Ma Trận (Matrix).

Đó là một hình vuông trong các ô chứa những số thuộc các số tự nhiên đầu tiên mà khi lấy tổng số của từng hàng, từng cột và từng đường chéo thì chúng bằng nhau. Những Ma Phương với đầy đủ thuộc tính như vậy gọi là Toàn Ma Phương (Full Magic Square). Những Ma Phương thiếu sót phần nào các thuộc tính ấy thì gọi là Bán Ma Phương (Semi Magic Square). Nếu như Ma Phương có thêm những đường chéo phụ (ngoài 2 đường chéo chính) có tổng số như vậy thì gọi là Liên Ma Phương (Pan Magic Square), là Quỉ Ma Phương (Diabolic Magic Square) hay là Siêu Ma Phương (Super Magic Square).
Theo hình thức, ta phân loại Ma Phương thành 2 nhóm: Ma Phương Lẻ (cạnh hình vuông là số lẻ) và Ma Phương Chẵn (cạnh hình vuông là số chẵn).
Bài này trình bày Tổng Quát Về Ma Phương và Thuật Toán giải Ma Phương Lẻ. Còn các Ma Phương Chẵn thì xin chuyển sang bài sau.

A- Ma Phương Lẻ (Odd Magic Square)

Mọi Ma Phương Lẻ đều là Toàn Ma Phương.

I- Ma Phương cấp 3 (3-3 Magic Square)

Hình vuông cạnh 3 ô chứa chuỗi số = 3x3 = 9 số tự nhiên đầu tiên thoả mãn các tiêu chí của ma phương gọi là Ma Phương cấp 3. Đây là Ma Phương đơn giản nhất và được các nhà huyền bí học Trung Quốc phát hiện cách đây khoảng 5 ngàn năm, khi nghiên cứu sự phân bố các dấu chấm trên mai một con rùa rồi sau này Phục Hy ghi vào Hà Đồ và Lạc Thư rồi được diễn giải như một quy tắc tổ chức huyền bí của Vũ trụ.

1- Mô Hình Giải Thuật

Thiết Lập	Hoàn Thành
1       4   2   7   5   3   8   6       9	1       4 9 2   7 3 5 7 3   8 1 6       9

[ Ma Phương cấp 3 (còn gọi là Ma Phương 9 ô) có Hằng số là 15]

2- Nguyên tắc (NT) của Giải Thuật Ma Phương Lẻ

• NT1: Bổ sung các ô phụ. Số ô phụ bằng số các ô chính, được bổ sung chia đều trên 4 cạnh, theo thứ tự từ trong ra bằng n-2 , n-4 cho đến khi chỉ còn 1 ô. Trong hình minh họa, các ô phụ có cạnh gạch đứt để phân biệt với các ô chính cạnh gạch đôi.
  
• NT2: Chuỗi cấp số cộng. Cấp số cộng được gieo vào ma phương cấp n sẽ có n2 số hạng, với số hạng đầu = 1 và công sai = 1. Đó chính là chuỗi n2 số tự nhiên đầu tiên.
  
• NT3: Gieo chuỗi: Gieo chuỗi theo đường chéo theo hướng trái-phải và trên-xuống.
  
• NT4: Dời số từ ô phụ vào ô chính. Số từ ô phụ được dời vào ô chính đối xứng với ô trung tâm trong Ma Phương.

Chú thích vềThuật ngữ: Cấp: Cấp của ma phương là số ô của cạnh hình vuông. Cấp ma phương đầu tiên là cấp 3. Số Hạng Giữa : Đó là số duy nhất cách đều 2 biên và chỉ tồn tại trong ma phương lẻ. Hằng Số: là con số tổng của từng hàng, từng cột và từng đường chéo. Hằng số Ma phương Lẻ được xác định qua công thức: [Hằng số] = [Cấp của ma phương] x [Số hạng Giữa]. Ví dụ: Ma Phương cấp 3 nhận chuỗi cấp số cộng từ 1 đến 9, số hạng giữa là 5 và hằng số = 3*5= 15. Ma Phương cấp 5 nhận chuỗi cấp số cộng từ 1 đến 25, số hạng giữa là 13 và hằng số = 5*13= 65.

3- Giải thuật Ma Phương cấp 3

a- Thêm 1 ô phụ vào bên ngoài và ở giữa mỗi cạnh. Kết quả ta có 5 hàng và 5 cột.
b- Điền chuỗi số từ 1 đến 9 vào các đường chéo theo chiều trái-phải và trên-xuống bắt đầu từ ô phụ cao nhất. Mỗi đường chéo 3 con số. Chú ý là số hạng giữa (bằng 5) tự động rơi vào ô trung tâm của Ma Phương.
c- Lần lượt dời các con số từ ô phụ vào ô chính đối xứng với ô trung tâm trong Ma Phương. Cụ thể:
- Hàng 1: Dời số 1 xuống dưới ô có số 5.
- Hàng 3: Dời số 7 sang bên phải ô có số 5 và dời số 3 sang bên trái ô có số 5.
- Hàng 5: Dời số 9 lên trên ô có số 5.
Trong hình minh họa ở cột Hoàn Thành, các số tại ô phụ được in gạch bỏ, sau khi được dời vào trong Ma Phương thì in đậm trên nền ô xám để dễ nhận dạng.

II- Ma Phương cấp 5 (5-5 Magic Square)

Hình vuông cạnh 5 ô chứa chuỗi số = 5x5 = 25 số tự nhiên đầu tiên thoả mãn các tiêu chí của ma phương gọi là Ma Phương cấp 5.

1- Mô Hình Giải Thuật

Thiết Lập	Hoàn Thành
1               6   2           11   7   3       16   12   8   4   21   17   13   9   5   22   18   14   10       23   19   15           24   20       25	1               6   2           11 24 7 20 3       16 4 12 25 8 16 4   21   17 5 13 21 9   5   22 10 18 1 14 22 10       23 6 19 2 15           24   20       25

[ Ma Phương cấp 5 có Hằng số là 65]

2- Giải thuật Ma Phương cấp 5
a- Thêm 3 ô phụ vào bên ngoài và ở giữa mỗi cạnh. Kết quả ta có 7 hàng và 7 cột.
b- Thêm 1 ô phụ vào bên ngoài 3 ô vừa thêm, và ở giữa mỗi cạnh. Kết quả ta có 9 hàng và 9 cột.
c- Điền chuỗi số từ 1 đến 25 vào các đường chéo theo chiều trái-phải và trên-xuống bắt đầu từ ô phụ cao nhất. Mỗi đường chéo 5 con số. Chú ý là số hạng giữa (bằng 13) tự động rơi vào ô trung tâm của Ma Phương.
d- Lần lượt dời các con số từ ô phụ vào ô chính đối xứng với ô trung tâm trong Ma Phương. Cụ thể:
- Hàng 1: Dời số 1 xuống dưới ô có số 13.
- Hàng 2: Dời số 6 xuống dưới ô có số 18 và dời số 2 xuống dưới ô có số 14 .
- Hàng 4: Dời số 16 sang bên phải ô có số 8 và dời số 4 sang bên trái ô có số 12
- Hàng 5: Dời số 21 sang bên phải ô có số 13 và dời số 5 sang bên trái ô có số 13.
- Hàng 6: Dời số 22 sang bên phải ô có số 14 và dời số 10 sang bên trái ô có số 18.
- Hàng 8: Dời số 24 lên trên ô có số 12 và dời số 20 lên trên ô có số 8.
- Hàng 9: Dời số 25 lên trên ô có số 13.
Trong hình minh họa ở cột Hoàn Thành, các số tại ô phụ được in gạch bỏ, sau khi được dời vào trong Ma Phương thì in đậm trên nền ô xám để dễ nhận dạng.

III- Ma Phương Lẻ ở các cấp lớn hơn

Ma Phương cấp 7 nhận chuỗi cấp số cộng từ 1 đến 49, số hạng giữa là 25 và hằng số = 7*25= 175.
Ma Phương cấp 9 nhận chuỗi cấp số cộng từ 1 đến 81, số hạng giữa là 41 và hằng số = 9*41= 369.
vv...
Tôi không trình bày giải thuật nữa, thay vào đấy là các Đáp Án và chú thích.

1- Đáp Án Ma Phương cấp 7

Ma Phương cấp 7	Chú thích
22 47 16 41 10 35 4 5 23 48 17 42 11 29 30 6 24 49 18 36 12 13 31 7 25 43 19 37 38 14 32 1 26 44 20 21 39 8 33 2 27 45 46 15 40 9 34 3 28	Về phép dời số từ ô phụ vào ô chính: dời luôn cặp số (giữ nguyên thứ tự) sang bên kia số trung tâm. Cụ thể: -Dời nguyên cặp 43, 37 sang bên phải ô số 25 -Dời nguyên cặp 13, 7 sang bên trái ô số 25 -Dời nguyên cặp 1, 9 xuống bên dưới ô số 25 -Dời nguyên cặp 41, 49 lên bên trên ô số 25

2- Đáp Án Ma Phương cấp 9

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

IV- Biến thể của Ma Phương (Variants of Magic Square).

Các biến thể của ma Phương về thực chất chỉ là sự khác biệt ở vị trí gieo số 1 (có 4 vị rí như vậy) và ở chiều gieo chuỗi số (có 2 chiều như vậy). Vị chi, mỗi ma phương có 8 biến thể.

• Biến thể I: Khởi đầu ở ô phụ trên cùng, gieo chuỗi số tự nhiên theo chiều trái-trên xuống phải-dưới.
  
• Biến thể II: Khởi đầu ở ô phụ trên cùng, gieo chuỗi số tự nhiên theo chiều phải -trên xuống trái-dưới.
  
• Biến thể III: Khởi đầu ở ô phụ bên trái, gieo chuỗi số tự nhiên theo chiều trái-trên xuống phải-dưới.
  
• Biến thể IV: Khởi đầu ở ô phụ bên trái, gieo chuỗi số tự nhiên theo chiều trái-dưới lên phải-trên.
  
• Biến thể V: Khởi đầu ở ô phụ bên phải, gieo chuỗi số tự nhiên theo chiều phải -trên xuống trái-dưới.
  
• Biến thể VI: Khởi đầu ở ô phụ trên phải, gieo chuỗi số tự nhiên theo chiều phải-dưới lện trái-trên.
  
• Biến thể VII: Khởi đầu ở ô phụ dưới cùng, gieo chuỗi số tự nhiên theo chiều trái-dưới lên phải-trên.
  
• Biến thể VIII: Khởi đầu ở ô phụ dưới cùng, gieo chuỗi số tự nhiên theo chiều phải-dưới lên trái-trên.

Tôi không minh họa thêm về các biến thể, độc giả có thể tự thực hiện.
Các Ma Phương Chẵn sẽ được trình bày trong bài kế tiếp.

- CAROLINE JUDITH-

Nguyên tắc giải Ma Phương Chẵn có khác với giải Ma Phương Lẻ vì Cấp Số Cộng chẵn không có Số Hạng Giữa.

B- Ma Phương Chẵn (Even Magic Square)

Giải thuật của các Ma Phương Chẵn thì phức tạp thông qua việc thực hiện các bước kiến tạo 2 Bán Ma Phương (Semi Magic Square) rồi ghép lại để được một Toàn Ma Phương (Full Magic Square).
Các Ma Phương chẵn không có ô trung tâm và trong chuỗi số tự nhiên đầu tiên cũng không tồn tại số hạng giữa.
Vì rằng sự tồn tại của Ma Phương cấp 2 là vô nghiệm nên chúng ta sẽ thực hành Ma Phương cấp 4.

I- Ma Phương cấp 4, hằng số = 34 (4-4 Magic Square).

Ma Phương cấp 4 còn gọi là Ma Phương 16 ô.
Chúng ta vẽ 2 ma trận vuông cấp 4 , và theo thứ tự gọi là ma Trận A và Ma Trận B.

Ma Trận A (Bán Ma Phương A)		Ma Trận B (Bán Ma Phương B)		Toàn Ma Phương cấp 4
1     4   6 7     10 11   13     16  Bắt đầu gieo chuỗi từ ô góc trái trên	+	15 14   12     9 8     5   3 2     Bắt đầu gieo chuỗi từ ô góc phải dưới	=	1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 Chồng 2 ma trận lên nhau sẽ được kết quả.

1- Xây dựng Bán Ma Phương A
Lần lượt gieo chuỗi 1,2,..., 16 vào các ô theo thứ tự từ trái sang phải và từ trên xuống dưới, bắt đầu từ ô góc trên trái.
Xóa các số trong những ô không nằm trên đường chéo của Ma Trận  (tức là không điền số tương ứng vào những ô ấy).
2- Xây dựng Bán Ma Phương B
Lần lượt điền chuỗi 1,2,..., 16 vào các ô theo thứ tự từ phải sang trái và từ dưới lên trên.
Xóa các số trong những ô có nằm trên đường chéo của Ma Trận (tức là không điền số tương ứng vào những ô ấy).
3- Thu nhận Toàn Ma Phương
Chồng 2 Ma Trận A và Ma Trận B lên nhau thì ta có Toàn ma Phương cấp 4.
Trong hình minh họa, các con số gieo vào Ma Trận A được đặt trong ô nền trắng, và những số gieo vào Ma Trận B được đặt trong ô nền xám.
4- Giải thuật đơn giản.
Giải thuật dưới đây được rút gọn từ Ma Phương 16 ô ở trên.
a- Trước hết gieo tất cả 16 số vào các ô trong Ma Trận, không phân biệt ô có nằm trên đường chéo hay không.
b- Đảo ngược các số trong đường chéo "trên trái- dưới phải". Cụ thể, chuỗi số thứ tự cũ là 1, 6, 11 và 16 sẽ đổi thành thứ tự mới là 16, 11, 6 và 1.
c- Đảo ngược các số trong đường chéo "dưới trái- trên phải". Cụ thể, chuỗi số thứ tự cũ là 13, 10, 7 và 4 sẽ đổi thành thứ tự mới là 4, 7, 10 và 13.
Xem Minh họa dưới đây, các số nằm trên đường chéo được đặt trong ô nền trắng.

Ma Trận 16 ô	Ma Phương 16 ô
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1

II- Siêu Ma Phương (super magic square).

Một Toàn Ma Phương mà có ít nhất một đường chéo phụ có tổng số bằng hằng số thì đó là Siêu Ma Phương.
Đường chéo phụ là những đường chéo song song với đường chéo chính và không bao giờ dài bằng đường chéo chính.
Một đường chéo phụ thiếu bao nhiêu ô thì luôn luôn có 1 đường chéo phụ khác có bấy nhiêu ô liên kết, và đường chéo thứ hai này được gọi là đường chéo "giả dụ liên tục" của đường chéo thứ nhất. Khi hai đường chéo phụ này liên kết với nhau thì đường mới (trong tưởng tượng) này cũng được coi là 1 đường chéo đầy đủ nhưng không phải là đường chéo chính. Và nếu đường chéo này cũng có tổng số bằng với hằng số của ma phương thì ta có một Siêu Ma Phương.
Ma Phương cấp 4 , xét trên tất cả những biến thể của nó, có đến 384 Siêu Ma Phương.
Ta hãy xem ví dụ ở 2 đường chéo phụ [12, 15] và [2, 5]. Nếu nối 2 đường này với nhau thì tổng số là 34 = hằng số ma phương.
Cũng vậy, 2 đường chéo phụ [3,8] và [9,14] có tổng số = 34 = hằng  số ma phương.

III- Các Ma Phương Chẵn cấp lớn hơn

Đại thể, Ma phương chẵn thì chia ra 2 loại là ma phương cấp 4n (n >= 1) và cấp 4n + 2 (n >= 1).

1- Ma Phương cấp 4n

- Ta chia hình vuông thành các tiểu ma phương cấp 4. Trong mỗi tiểu ma phương ta kẻ các đường chéo
- Ta gieo số trong ma phương lớn theo chiều trái-phải và trên-xuống. Số nào không rơi vào đường chéo thì không ghi.
- Ta lại gieo ngược số từ dưới lên theo chiều phải trái. Số nào rơi vào ô đã có số thì không ghi.
- Kết quả cuối cùng ta có Ma Phương

Bây giờ ta sẽ giải Ma Phương 64 ô (tức ma phương cấp 4x2= 8) hằng số = 260.

Gieo số xuôi trên các đường chéo(các ô nền xám)	Gieo số ngược ngoài các đường chéo (các ô nền trắng)
1     4 5     8   10 11     14 15     18 19     22 23   25     28 29     32 33     36 37     40   42 43     46 47     50 51     54 55   57     60 61     64 Ma Phương gieo số lần thứ nhất	1 63 62 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64 Ma Phương gieo số lần thứ nhì và kết quả.

2- Đối với ma phương cấp 4n + 2.

Ta sẽ chia nhỏ hình vuông ra các ô lớn. Mỗi ô lớn có 2 ô dọc, 2 ô ngang. Sau đó thì tiến hành đi các ô lớn như cách di chuyển khi thiết lập ma phương lẻ. Kết hợp với quy tắc đi riêng cho các ô nhỏ (quy tắc LUX). Trong đó 1 ma phương sẽ có tổng cộng n + 1 dòng L, 1 dòng U và n – 1 dòng X. Luôn có 1 chữ U ở trung tâm ma phương nên nó sẽ hoán đổi vị trí với L trên nó.

Sau đây là các cách đi theo các chữ L, U, X.
Thử áp dụng cho ma phương cấp 10. Lúc này ta có n = 2 nên sẽ có n + 1 = 3 dòng chữ L, 1 dòng chữ U và n – 1 = 1 dòng chữ X. Ta thực hiện đi kết hợp phương pháp lập ma phương lẻ với quy tắc LUX.
(tôi sẽ cập nhật Giải thuật sau vì cách post bảng trong diễn đàn quá phức tạp)
Dưới đây là đáp án của Ma Phương cấp 6, hằng số = 111.

1	35	4	33	32	6
12	8	28	27	11	25
24	17	15	16	20	19
13	23	21	22	14	18
30	26	9	10	29	7
31	2	34	3	5	36

Sự nghiên cứu Ma Phương vẫn còn tiếp tục. Ngày nay đang có nghiên cứu về Ma Phương 3 chiều (Magic Cubes).

Tuy nhiên, Ma Phương chỉ được coi như một trò chơi toán học kiểu Puzzles (những bài toán hóc búa) trong đó Sudoku hay Kakuro là vài ứng dụng phổ cập. Khai thác thực tiễn thì mới chỉ thấy trong ngành in vải hoa sử dụng phần mềm ứng dụng Ma Phương để phân bố các phần tử đồ họa cơ bản lên bề mặt vải hoa một cách có tổ chức, hài hòa và liên tục lặp lại.

-CAROLINE JUDITH-