Trò chơi Ca Rô và Ma Phương

Chữ Ca Rô (Carreau) có nghĩa là hình vuông. Vì thế giữa trò chơi này và Ma Phương có mối tương quan nhất định. Chúng ta sẽ khảo sát một biến thể của trò chơi này rồi rút ra một kết luận bổ ích.
Download game Five In Row (Carreaux) tại đây: http://dl.dropbox.com/u/44358491/musictool/fiverow.exe

A- Câu chuyện "chơi cờ ăn tiền"


Bàn cờ ca rô là 1 Ma Phương 9 ô đã đánh số sẵn. Tổng các hàng bằng tổng các cột và bằng tổng 2 đường chéo bằng 15. Thẻ chơi của 2 đối thủ thì khác màu nhau. Hình thức bàn cờ này gọi là "bàn cờ giới hạn" có khác với hình thức của cờ ca rô thông thường vốn là "bàn cờ vô hạn". Câu chuyện này cũng đã được vài tác giả viết rồi nhưng với định hướng khác.
I- Luật chơi

1- Hai đấu thủ, mỗi người lần lượt thay phiên nhau đặt 1 thẻ của mình vào 1 ô. 2- Ô nào đã đặt thẻ rồi thì không được đặt lại. 3- Ai đặt thẻ vào ô mà có tổng số các ô (hàng hay cột hay đường chéo) = 15 trước thì thắng. Trên mặt bàn cờ sẽ thấy thẻ của mình nằm trên 1 đường thẳng. Đều kiện thắng ở đây tương đương với điều kiện thắng cuộc của trò chơi ca rô thông thường (5 dấu X/ O thẳng hàng).

4   9   2   3   5   7   8   1   6

II- Diễn biến cuộc cờ:

Lần 1-Người đi trước tùy ý đặt thẻ của mình (ký hiệu T1) vào ô số 7 - Người đi sau tùy ý đặt thẻ của mình (ký hiệu S1) vào ô số 8.
Lần 2-Người đi trước tùy ý đặt thẻ của mình (ký hiệu T2) vào ô số 2 (người này sẽ thắng nếu sau đó đặt thẻ vào ô số 6- Ta gọi ô số 6 là ô "cơ hội" của người đi trước)- Người đi sau chặn người đi trước bằng cách đặt thẻ của mình (ký hiệu S2) vào ô số 6 (người này sẽ thắng nếu sau đó đặt thẻ vào ô số 1).

Lần 3-Người đi trước chặn người đi sau bằng cách đặt thẻ của mình (ký hiệu T3) vào ô số 1 (lúc này người đi trước không có ô "cơ hội" nào ở bước tiếp theo vì cả 3 thẻ đều ở trên những ô rời rạc)- Người đi sau tùy ý đặt thẻ của mình (ký hiệu S3) vào ô số 4 (người này sẽ thắng nếu sau đó đặt thẻ vào ô số 1 hoặc ô số 5 - Ta gọi những ô này là ô "cơ hội" của người đi sau). Lần 4: Đến đây thì dù người đi trước có chặn người đi sau bằng cách đặt thẻ T4 vào ô số 1 hay ô số 5 (các ô có dấu? trong minh họa) thì người đi sau cũng có cơ hội để đặt thẻ S4 vào ô "cơ hội" còn lại mà giành chiến thắng.

4      S4 9   2      T2 3       ? 5       ? 7      T1 8      S1 1      T3 6      S2

III- Phân tích cơ hội thắng cuộc

Rõ ràng trò chơi trên có chiến lược và chiến thuật của trò chơi ca rô thông thường với 5 dấu X/O. Tuy nhiên 2 đối thủ lại không cân tài cân sức. Người đi trước thì không biết chơi còn người đi sau thì quá kinh nghiệm.

Phân tích năng lực tham gia cuộc chơi ta có 3 trường hợp:
1- Cả hai cùng không biết chơi: cuộc chơi sẽ hứng thú vì tính ngẫu nhiên. Tuy nhiên theo thời gian thì sẽ có tối thiểu 1 người khám phá ra cách chơi ("loài người không thể mãi mãi không biết") tình thế sẽ chuyển sang trường hợp 2 sau đây.
2- Một người biết chơi , 1 người không: Phần thắng luôn luôn thuộc về người biết chơi. Nhưng rồi sẽ đến lúc cả 2 đấu thủ đều nắm được thuật toán của trò chơi (cũng do qui luật "loài người không thể mãi mãi không biết") tình thế sẽ chuyển sang trường hợp 3 sau đây.
3- Cả hai cùng biết chơi: cuộc chơi sẽ ngihêng về người chiếm ưu thế trên bàn cờ.

Nhưng ai sẽ là người chiếm ưu thế? Để trả lời, ta đưa ra khái niệm "cơ hội" thắng cuộc và tiến hành phân tích số cơ hội thắng của một thẻ bất kỳ.

1- Thẻ ở Ô góc: Mỗi ô cung cấp 2 cơ hội (1 ngang + 1 dọc).
2- Thẻ ở Ô giữa của cạnh: Mỗi ô cung cấp 2 cơ hội (1 ngang + 1 dọc).
3- Thẻ ở Ô giữa của bàn cờ (gọi là ô trung tâm): Ô này cung cấp 4 cơ hội (1 ngang + 1 dọc + 2 chéo).

Ưu thế rõ ràng nghiêng về thẻ chiếm ô trung tâm vốn cung cấp 4 cơ hội. Vậy nếu 1 đấu thủ biết thuật chơi thì đấu thủ ấy chỉ cần tranh đi trước và đặt thẻ T1 vào ô trung tâm. Diễn biến sẽ như sau:

Lượt 1: T1 ở ô số 5. - S1 có quyền chọn lựa đặt thẻ vào 1 trong 4 ô góc và 1 trong 4 ô giữa của cạnh. Nghĩa là tiến trình đấu trí diễn ra theo 2 hướng:

a- Lượt 2, hướng Ô góc (2 cơ hội)

- Nếu S1 ở ô góc (ví dụ ô số 2) - người đi trước sẽ không chọn 1 ô ít cơ hội. Do đó sẽ chọn ô số 1 hay ô số 3 (mỗi ô cung cấp 2 cơ hội). Giả sử T2 vào ô số 3 để chiếm cơ hội (cũng suy luận như vậy nếu T2 nằm ở ô số 1) Lượt 3:- S2 sẽ ở ô số 7 để chặn cơ hội của T và tăng cơ hội cho mình. - Người đi trước buộc phải chặn và tự tạo cơ hội bằng cách đặt thẻ T3 vào ô số 6. Lượt 4:- S3 phải đặt ở ô số 4 do đó T4 phải ở ô số 9 Lượt 5:- S4 phải đặt ở ô số 1 do đó T5 chỉ còn ô số 8 => Không có ai thắng cuộc

4      S3 9      T4 2      S1 3       T2 5       T1 7      S2 8      T5 1       S4 6      T3

b- Lượt 2, hướng Ô cạnh (1 cơ hội)

- Nếu S1 ở ô giữa của cạnh (ví dụ ô số 7) - người đi trước sẽ không chọn 1 ô ít cơ hội. Do đó người này sẽ chọn ô số 4, số 8, số 1 hay ô số 9 (mỗi ô cung cấp 2 cơ hội). Giả sử T2 vào ô số 8 để chiếm cơ hội (cũng suy luận như vậy nếu T2 nằm ở các ô còn lại). Lượt 3: - S2 sẽ ở ô số 2 để chặn cơ hội của T và tăng cơ hội cho mình. - Người đi trước buộc phải chặn và tự tạo cơ hội bằng cách đặt thẻ T3 vào ô số 6. Lượt 4: Đến đây thì người đi trước có 2 cơ hội và dù người đi sau có chặn ở ô số 1 hay ô số 4 thì người đi trước cũng sẽ đặt T4 vào ô còn lại để thắng.

4       ? 9      2      S2 3       5       T1 7      S1 8      T2 1       ? 6      T3

Xem thế thì dù người đi trước chiếm ưu thế nhưng người đi sau vẫn có thể sử dụng hiểu biết của mình chiếm ô Góc để không thua. Vậy nếu cả 2 người cùng nắm được thuật toán chơi cờ thì HÒA là kết quả tất yếu.
Nếu người đi trước không chiếm ô trung tâm thì sao? Rõ ràng người này không nắm được thuật toán chơi, do đó người đi sau có cơ hội để tranh thế chủ động như trong mẩu chuyện ta vừa kể ở II.
Bây giờ thì ta hiểu vì sao trò chơi ca rô trên bàn cờ giới hạn lại thiếu sức thu hút. Bàn cờ này có thể lập trình cho máy tính chơi được bằng cách chọn phương án tối ưu cho mỗi bên, và tất cả đều Hòa.
-CAROLINE JUDITH-

B- Tư duy logic thì ích lợi gì?

Câu chuyện bên trên dẫn đến 1 nguyên tắc bổ ích: "Với bàn cờ ca rô có giới hạn, ai tư duy logic thì sẽ chịu thiệt thòi ít nhất". Mà ván cờ đời thì cũng vậy đấy. Nếu điều kiện và hoàn cảnh của các tiền đề là giới hạn thì ai tư duy logic sẽ chịu ít thiệt thòi nhất.

I- Chọn 1 chiếc đồng hồ

Bạn đến cửa hàng bán đồ cũ xin 1 chiếc đồng hồ kim còn khá tốt về sửa lại dùng. Người chủ cho bạn lựa 1 trong 2 cái: Cái bên trái 2 năm thì kim chỉ đúng 1 lần, cái bên phải mỗi ngày kim chỉ đúng 2 lần. Vậy bạn chọn cái nào? Tất nhiên bạn chọn cái ít sai hơn tức là cái mỗi ngày kim chỉ đúng 2 lần. Nhưng nếu bạn tư duy logic hơn thì sẽ thấy cái bạn chọn là cái đã hỏng hoàn toàn (nó không chạy nữa). Cái kia chạy chậm 1 phút / ngày nên phải 720 ngày mới đúng 1 lần nhưng dù sao thì nó cũng còn chạy được.

II- Chọn chế độ lương

Công ty hợp đồng với bạn 2 năm làm việc, tức là 24 tháng. Công ty cho bạn chọn chế độ lương như sau
1- Lương khởi đầu: 2 triệu /tháng
2- Chế độ 1: Lương tháng sau = lương tháng trước + 50 ngàn.
3- Chế độ 2: Lương tam cá nguyệt sau = lương tam cá nguyệt trước + 150 ngàn.
Bạn sẽ chọn chế độ nào? Cứ theo cảm tính thì chế độ nào cũng như nhau. 150 ngàn cả 3 tháng thì cũng bằng 3 tháng , mỗi tháng 50 ngàn. Nhưng nếu bạn liệt kê ra bảng số thì bạn sẽ sửng sốt.
- Chế độ 1: tháng thứ 24 bạn lĩnh 3.150.000đ . Tổng 24 tháng là 61.800.000 đ.
- Chế độ 2: tháng thứ 24 bạn lĩnh 3.050.000 đ. Tổng 24 tháng là 60.600.000 đ.
Hic, cứ làm cấp số cộng thì sẽ thấy. Câu nói "dốt tính ở lính suốt đời" đúng thay!

III- Té sông

Nếu bạn bị té xuống sông mà 2 bờ thẳng song song thì bạn vào bờ theo đường bơi nào? Dễ giải đáp quá: dù bạn bơi theo cảm tính hay theo logic thì phản xạ của bạn cũng là chọn đường "trực chiếu" với bờ. Đó là đường bơi ngắn nhất. Có điên mới chọn đường dài mà bơi.

IV- Dựa vào đâu?

Để làm 1 việc khó khăn, ta có thể dựa vào năng lực mình hay vào ưu thế hay vào cơ hội. Xét về hiệu suất thì Mạnh Tử nói "Sức người không bằng lợi thế, lợi thế không bằng thời cơ". Mà theo bản năng thì chúng ta nghiêng về phương án tiết kiệm sức lực nhất. Do đó mà sinh ra kẻ muốn đổi đời nhưng nằm chờ sung rụng (như chờ trúng số chẳng hạn) hoặc mượn tay người khác làm rồi tranh cướp thành quả (như trộm cắp chẳng hạn). Tuy nhiên, xét theo xác suất thành công thì dựa vào sức mình là chắc ăn nhất, 2 chỗ dựa còn lại đều bấp bênh do chỗ dựa không tùy thuộc mình. Vì thế cũng chính Mạnh Tử nói với Lương Huệ Vương: "Để giữ nước, không gì hơn dựa vào chính mình".

Ta về câu cá ao ta,
Dù ngon dù dở ao nhà là chắc ăn.

-CAROLINE JUDITH-

C- Những phương pháp tư duy logic

I- Phương pháp Loại Trừ

Nếu từ 1 điểm ở ngoài đường thẳng ta kẻ 1 đường xiên (không thẳng góc) đến 1 đường thẳng cho sẵn thì đường xiên sẽ hợp với đường thẳng góc làm thành 1 tam giác vuông góc mà đường xiên là cạnh huyền. Cạnh huyền là cạnh dài nhất trong tam giác. Như vậy mọi đường xiên đều dài hơn đường thẳng góc. Ta sẽ thấy đường dây rọi của thợ xây là đường ngắn nhất nối điểm trên cao với mặt đất và viên đá rơi từ cao xuống cũng chọn đường "trực tuyến" mà rơi.

II- Phương pháp Đệ Quy

Đệ quy là thao tác trước sau giống hệt nhau và cùng tác động lên 1 đối tượng nhưng thao tác trước chứa thao tác sau.
Ví dụ 1: Bạn dùng máy ảnh chụp cái monitor của PC rồi đem ảnh ấy làm wallpaper. Trên desktop sẽ thấy cái ảnh monitor của bạn.Sau đó bạn lại dùng máy ảnh chụp cái monitor của PC rồi đem ảnh ấy làm wallpaper. Sau vài lần bạn sẽ thấy cái monior chứa monitor rồi lại chứa monitor nhỏ hơn vv... cho đến khi hình ảnh monitor ban đầu còn nhỏ xíu. Bạn có thể thực hành ví dụ này với 1 thiết bị chụp ảnh.
Ví dụ 2: Bạn viết JavaScript cho 1 file HTML mà khi file được mở thì nó tải thêm 1 file nữa trong cửa sổ mới (bạn hãy dùng hàm onload để thử nghiệm) mà file nữa đó lại là chính nó. Cách viết này tạo ra hàm đệ quy, và chỉ trong 1 phút thì máy của bạn sẽ tải vô số cửa sổ giống hệt nhau đến mức đầy bộ nhớ khiến máy bị treo. Người lập trình không nên phạm lỗi này. Khi thực hành bạn nên chuẩn bị các ngón tay trên phím [Alt+F4] để kịp thời ngăn chặn hiện tượng treo máy.
Tiến trình đệ quy được áp dụng trong phản ứng dây chuyền. Một phần năng lượng thoát ra của tiến trình hiện tại được tái sử dụng để kích hoạt tiến trình kế tiếp. Kính vạn hoa là 1 ứng dụng của tiến trình phản xạ ánh sáng đệ quy qua 3 gương phẳng họp nhau thành tam giác đều. Súng máy (bắn rafale) ứng dụng tiến trình đệ quy lực giật lùi nòng súng để lên đạn cho phát bắn tiếp theo.

III- Phương pháp Suy Diễn Ngược

Suy diễn ngược là giả thiết kết luận đúng/sai để thấy rằng nó thỏa mãn hay mâu thuẫn với tiền đề. Ví dụ chứng minh "Thượng Đế tạo ra vạn vật". Ta đi từ nguyên lý Túc Lý "mọi sự đều có nguyên nhân". Áp dụng vào trường hợp cụ thể: một người không thể tự nhiên mà hiện hữu, do đó phải có cha mẹ sinh ra. Cứ thế ta kết luận "có 1 nguyên nhân đầu tiên tạo ra tất cả". Dù nguyên nhân đầu tiên có bản chất là gì (hiện nay ta chưa biết) thì ta cũng cho nguyên nhân ấy 1 tên gọi, và ta gọi là "Thượng Đế". Lập luận này còn vướng 1 khuyết điểm là "Thượng Đế do đâu mà có?". Cứ theo hướng lý luận này thì chẳng biết có hay không tồn tại một Thượng Đế.

IV- Phương pháp Giả Thiết

Để khẳng định tính đúng đắn của 1 phát biểu phổ quát thì ta giả định 1 trường hợp thỏa mãn điều kiện rồi tiến hành lập luận. Ví dụ, có 1 phát biểu thế này: "mọi hành tinh đều có khí quyển". Vậy ta giả thiết ngẫu nhiên 1 hành tinh nào đó, như "Sao Mộc" chẳng hạn. Phân tích quang phổ Sao Mộc đã không thấy sự hiện diện của khí quyển (không có sự tán sắc và khúc xạ ánh sáng). Như vậy phát biểu này Sai. Tuy nhiên nếu giả thiết 1 hành tinh ngẫu nhiên khác (ví dụ, sao Hỏa) là có khí quyển (đã xác nhận là Sao Hỏa có khí quyển) thì cũng chưa thể khẳng định "mọi hành tinh đều có khí quyển". Phát biểu đúng là: "một số hành tinh có khí quyển".

V- Phương pháp Phân Tích

Đây là phương pháp cơ bản của lý trí. Cần phải xét hết các trường hợp xuất hiện của phát biểu thì mới rút ra kết luận được. Ví dụ phương pháp siêu âm để đoán giới tính của thai nhi. Phân tích như sau:
1- Khi hình ảnh siêu âm cho thấy bộ phận sinh dục nam thì có thể khẳng định thai nam.
2- Khi hình ảnh siêu âm không cho thấy bộ phận sinh dục nam thì:
- hoặc là thai nữ
- hoặc là thai nam trong tư thế riêng biệt che khuất bộ phận sinh dục
Như vậy có thể kết luận: "Hình ảnh siêu âm cho phép khẳng định thai nam nhưng không đủ chắc chắn để khẳng định thai nữ".

VI- Phương pháp Tính Toán

Trong ví dụ về Chế Độ Lương ta đã dùng phương pháp tính toán. Tính toán là 1 phương thức tư duy logic rất có giá trị. Một vấn đề dẫu mù mờ đến đâu mà chịu khó tính toán thì tư tưởng sẽ minh bạch ngay. Nhưng phương pháp này cũng có giới hạn của nó. Những phạm trù không thể định lượng thì nằm ngoài khả năng của phương pháp này.
Vào lúc 3 giờ chú tiểu gõ 3 tiếng chuông, thời gian từ tiếng chuông thứ nhất đến tiếng chuông thứ ba là 3 giây. Vậy cần bao nhiêu thời gian để chú tiểu gõ 7 tiếng chuông lúc 7 giờ?
Một luận lý đơn giản: "Nếu lúc 3 giờ gõ 3 tiếng chuông mất 3 giây => lúc 7 giờ gõ 7 tiếng chuông sẽ mất 7 giây". Một chuỗi 3 số 3 và 2 số 7 làm bạn ngộ nhận rồi đó. Thời gian giữa 2 tiếng chuông phải tính giữa 2 tiếng chuông. Như thế tiền đề chứa 2 khoảng thời gian và tổng là 3 giây, tức là mỗi khoảng thời gian giữa 2 tiếng chuông = 3/2= 1,5 giây. Còn lần gõ chuông lúc 7 giờ thì chứa 6 khoảng thời gian cho nên tổng thời gian là 1,5 x 6 = 9 giây!

VII- Phương pháp Vẽ Hình

Đa số là vẽ bảng. Cũng có thể minh họa bằng đồ thị hay dùng các đường thẳng để so sánh. Một số lập luận được minh họa bằng mô hình. Bài toán "Ngũ Quốc Tranh Gia" đã khai thác phương pháp vẽ bảng.
Bài toán sau đây được giải bằng phép vẽ hình: Có 1 cái bánh hình chữ nhật bị xén mất 1 khoảnh cũng hình chữ nhật. Làm sao chỉ bằng 1 nhát dao chia đôi phần còn lại thành 2 mảnh có diện tích bằng nhau?

Vẽ hình thì giải bài toán rất dễ. Đường thẳng xuyên tâm bất kỳ sẽ chia hình chữ nhật thành 2 mảnh có diện tích bằng nhau. Nay có 2 hình chữ nhật (hình lớn là miếng bánh ban đầu và hình nhỏ là khoảnh bánh bị cắt) do đó nhát dao của ta là đường xuyên tâm chung thì sẽ được 4 phần. S1+S4= S2+S3 (qua đường xuyên tâm của cái bánh ban đầu). Mà S4=S3 (qua đường xuyên tâm của khoảnh bánh bị cắt). nên S1=S2. Đó là 2 mảnh cần được chia từ phần bánh còn lại.

Nếu cái bánh này bị chuột đục mất 1 lỗ hình tròn thì cắt bánh qua đường xuyên tâm chung vẫn hiệu lực.

VIII- Phương pháp Loại Suy

Dựa vào tính chất của 1 vật thể suy ra tính chất còn lại của vật thể khác cùng loại. Ví dụ, Con bò là động vật có vú và di chuyển bằng chân. Con mèo là động vật có vú nên cũng di chuyển bằng chân. Tuy nhiên cũng có sự bấp bênh trong phương pháp suy luận này. Con dơi là động vật có vú nhưng di chuyển bằng cánh. Cá voi là động vật có vú nhưng di chuyển bằng vây bơi.

IX- Phương pháp Tổng Hợp

Phương pháp tổng hợp là sử dụng nhiều hơn 1 phương pháp đã kể ở trên trong cùng một tiến trình tư duy. Thực tế, tư duy logic đòi hỏi kết hợp nhiều phương pháp tư duy đơn lẻ chứ không chỉ dùng 1 phương pháp. Trong bài toán vẽ hình vừa kể, phương pháp vẽ hình là đặc trưng của giải thuật còn phương pháp lập luận là diễn dịch loại trừ.

-CAROLINE JUDITH-